ＡためにＢ

A is a verb expressing an intentional action.

A and B are performed by the same person.

ＡようにＢ

A is non-intentional verb in the potential or nai-form, expressing a state, a condition, etc.

A and B can be performed either by the same or by different persons.

子供がべんきょうするように、あたらしいつくえを買ってあげました。

私はべんきょうするために、あたらしいつくえを買いました。

病気がなおるように、1日中ねていました。

病気をなおすために、1日中ねていました。