Barnen er syg

En pædagog af vuggustuen, ring mig på telefonen, fordi familiens barnen, hvor jeg bor og arbejde, er syg. Så jeg går at hende ham og vi kommer sammen hjem.
Jeg kigger på ham. Han er meget træt på grund af høj feber. Jeg laver mad til ham, men han er ikke sulten. Jeg beslutter at putte ham i seng. Efter nogle minutter, han sover allerede, men kun for en time. Det er fordi hans mor kom for at give han medicin. Hun vækker ham og efter hun prøver at putte ham i seng igen.
Desværre, han kan ikke sove. Hans mor går tilbage på arbejde og jeg leger med ham til hans mor og far ankommer hjem.

Barnet er sygt
En pædagog fra vuggestuen ringer til mig på telefonen, fordi barnet i familien, hvor jeg bor og arbejder, er sygt. Så jeg går hen for at hente ham og vi kommer hjem sammen.
Jeg kigger på ham. Han er meget træt på grund af høj feber. Jeg laver mad til ham, men han er ikke sulten. Jeg beslutter at putte ham i seng. Efter nogle minutter sover han allerede, men kun i en time. Det er, fordi hans mor kommer for at give ham medicin. Hun vækker ham, og derefter prøver hun at putte ham i seng igen.
Han kan desværre ikke sove. Hans mor går tilbage på arbejde og jeg leger med ham indtil hans mor og far kommer hjem.

"familiens barn" is correct, but not in this context. "hvor jeg bor ..", will always refer to the last noun in the previous phrase (... familiens barn, hvor jeg bor ..." would express, that I live in the child).

Barnet er syg

En pædagog fra (af=of, fra=from) vuggustuen, ringede (past tense) til mig på telefonen, fordi familiens barnen (singular), hvor jeg bor og arbejder (-r is added on verbs in present tense), er syg. Så jeg går hen og henter ham og vi kommer hjem sammen.
Jeg kigger på ham. Han er meget træt på grund af høj feber. Jeg laver mad til ham, men han er ikke sulten. Jeg beslutter at putte ham i seng. Efter nogle minutter, sover han allerede, men kun i en time. Det er fordi hans mor kommer (present tense) for at give ham (check your pronouns) medicin. Hun vækker ham og bagefter (bagefter=afterwards, efter=after) hun prøver at putte ham i seng igen.
Desværre, kan han ikke sove. Hans mor går tilbage på arbejdet og jeg leger med ham til hans mor og far ankommer hjem.

(when the sentence start with something like "an hour later" or "afterwards" (a part that can be removed without ruining the meaning of the sentence), the wordorder changes. Normally it's "Han kan spise" (he can eat)  but when "i dag" (today) is put in front of the sentence, the wordorder changes: 
"I dag kan han spise" (Today he can eat (Literally: today, can he eat))