Here are some more about the differences between them.
I think you want to know more about usages of them.

1. with a let's-sentence like ~하자
포도를 사기 위해(서) 백화점에 가자!(X)
포도를 사려고 백화점에 가자!(X)
포도를 사러 백화점에 가자!(O)

2. with 가다/오다
포도를 사기 위해(서) 백화점에 가요=> netural(in witten)
포도를 사려고 백화점에 가요 => more emphasis on a speaker's intention
포도를 사러 백화점에 가요 => neutral(in spoken)
* ~기 위해(서)/~(으)려고 can be followed by any verbs,
but ~(으)러 is only followed by "가다/오다"

3. with a negative sentence, '안'
나중에 먹으려고 안 먹었어요(makes perfect sense)
나중에 먹기 위해 안 먹었어요(makes sense)
나중에 먹으러 안 먹었어요(X)

4. with an imperative sentence, ~해/하세요/해요
포도를 사기 위해 백화점에 가세요(X)
포도를 사려고 백화점에 가세요(X)
포도 사러 가세요(O)


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Mi Opinion

What is the difference between __기 위해서 and _려고 /_려 ?????

I already know the different between _려고 and _려 but i dont know what is the different between them and __기 위해서 ?
There're some sentences here... I think they are the same, ___in order to____
Three of them are interchangeable in meaning, but usage is different.:)

1포도를 사기 위해서 백화점에 갔다(often used in written)
2 포도를 사려고 백화점에 갔다(more casual than #1)
3 포도를 사러 백화점에 갔다(commony used in everyday Korean)


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