Resolved questions
していって？

英語のdriveとは違い、日本語の「運転する」はただ単に「車の操作をする、車を作動させる」という意味です。「車で移動する」という意味はありません。だから、「移動する」と言いたいときは、「行く/来る」か、助詞「まで」を使わなければいけません。

I drove to school.
○学校まで　運転した。(correct)
○学校に　車を運転して行った。(correct)
×学校に　運転した。 (incorrect)

そういえば、洗濯機や掃除機の電源スイッチも「運転」と書いてありますよね。「作動させる」operate という意味です。

「歩く」も同じで、「徒歩で移動する」と言いたいときは「行く/来る」または「まで」を使わなければいけません。
I walk to school.
○歩いて学校に行きます。(correct)
○学校まで歩きます。(correct)
×学校に歩きます。(incorrect)


語順ですが、
「ジムに　（歩いて）行って」
「ジムに　（バスに乗って）行って」
「ジムに　（自転車に乗って）行って」
のバリエーションとして
「ジムに（車を運転して）行って」
と言っても特に不自然ではないと思います。