"Doğum günün kutlu olsun" is like "have a nice birthday". As you can see there is a verb(have) in the sentence. "Doğum günün kutlu" is not a complete sentence for turkish. If you want to say something like "happy new years, happy birthday" you should say: "nice yıllara" or "mutlu yıllar". ("nice" means "lots" in here. so you can say that "nice yıllara" means "lots of years to live".) I hope this was not complicated and it is helpful for you :)

Doğru: Doğum günü kutlu olsun! Yanlış: Doğum günü kutlu We need a verb at the end. So the second version is wrong mentally. We never use it.

Birisine doğum günü dileği olarak "doğum günün kutlu olsun" denir. Sadece "doğum günün kutlu" dersek cümle eksik kalır.

doğum günü kutlu ; there is no verb on this sentence