LET someone DO something -давать, разрешать, позволять кому-то что-то делать.
Let me have a look at that letter.-Дай мне взглянуть на это письмо.
Some people let their kids do whatever they like.-Некоторые люди позволяют (разрешают) делать своим детям всё что угодно.
MAKE someone DO something
The translation depends.
I'll make you do that.-Я заставлю тебя это сделать.(negative meaning)
I like him because he makes me laugh.
Он мне нравится, потому что он смешит меня.(positive meaning)