Como bien dice Francisco, son casi intercambiables, aunque en España puede considerarse algo más exacto el uso de "enhorabuena" y "mis felicitaciones" (algo más formal) para felicitar a alguien por un logro que implicaba cierto esfuerzo.
En España se usa "felicidades" para expresar alegría por acontecimientos algo más fortuítos o casuales como por ejemplo al obtener un premio en un sorteo, y se reserva exclusivamente para aniversarios:
Es tu cumpleaños. ¡Felicidades! (nunca enhorabuena)
¡Enhorabuena por tu nuevo trabajo! (algo más correcto que felicidades)