「たくさん」は副詞的にも使う名詞です。詳しい数や量については、あまり問題ではありません。
「多い」は形容詞です。特に(詳しい)数や量などを問題にしている時は、「多い」がよく使われます。
しかし、両方とも同じような意味で使うことが出来ます。ただし、品詞が違うので文法的な使い方が違います。(意味も、微妙な違いがあります。)
1.一日に20回の電話は多い。
2.私の方が食べる量が多い。
(1).毎日たくさん電話で話す。(回数が多いのか、時間が多いのかには言及していません。とにかく、たくさん話すという意味です。)
(2).私の方がたくさん食べる。(2.と同じ意味です。)
説明が難しかったらごめんなさい。