Hola, Katherine:
"Cai" es como se conoce en el dialecto andaluz a Cádiz, una preciosa ciudad del Sur de España, en Andalucía, también apodada "la Tacita de Plata" y que es una de las ciudades más antiguas de Europa occidental, con más de 3.100 años de historia.
Lo que tú llamas apodo, se llama en realidad "nombre hipocorístico", que son aquellos apelativos cariñosos, familiares o eufemísticos usados para suplantar un nombre real.
Los nombre hipocorísticos de Carmen son, al menos en España, los siguientes:
♦ Mamen.
♦ Menchu.
♦ Carmenchu.
♦ Carmela (también nombre).
¡Espero que te sea de ayuda, Katherine! Recibe un afectuoso saludo.