В смысле "чуть не упал," я бы употреблял предлог over: - I stumbled over a rock and stubbed my toe. - You were sitting with your foot in the aisle and I stumbled over it. В смысле "случайно встретил," я бы употреблял on: - I stumbled on a great cooking website. - I was in the library and I stumbled on this great book about Russia. В этом смысле, если будете говорить "I stumbled over a great book," это не серьезная ошибка. Но вы привели пример "лестница," и можно сказать: - I stumbled on the staircase. Здесь смысль в том, что вы нашлись на лестнице (on the staircase), когда споткнулись--фраза on the staircase на самом деле не относится к глаголу stumble. Здесь over звучит очень странно. Если возмьем еще места, при которых предлог "on" не употребляется, ясно видите в чем дело: - I stumbled IN the kitchen (where were you when you stumbled? In the kitchen.) - I stumbled AT the post office (where were you? At the post office.) Не лестница сама заставила вас споткнуться. Чтобы выяснить, также возможно: - I stumbled OVER the broken step ON the staircase. - I stumbled OVER the doll my daughter left ON the staircase. - I stumbled OVER the pot you dropped on the floor IN the kitchen. - I stumbled OVER a package AT the post office. Ясно?