Allora:
"poi" si usa unicamente per esprimere una consecuzione temporale, ovvero una cosa che accade più tardi nel tempo. Ad es.: "Stamattina sono andato a passeggiare al parco, poi ho fatto la spesa."
"allora" ha più significati, ma nel senso che intendi tu si utilizza principalmente per esprimere una relazione di causa ed effetto, perciò un evento che è conseguenza di qualcosa successo prima. Ad es.: "Quando sono uscito stamattina ha iniziato a piovere, allora sono tornato a casa e ho preso l'ombrello."
Un altro utilizzo frequente è individuare un momento nel tempo in cui accade ciò che stiamo raccontando. Ad es.: "Mio nonno è nato negli anni '20. Allora non tutti avevano la luce elettrica a casa".
"quindi" può assumere una qualsiasi delle prime due funzioni che ho esposto, ovvero consecuzione temporale o causa/effetto. Ad es.: "Stamattina sono stato a passeggiare al parco, quindi sono andato a fare la spesa.", oppure "Quando sono uscito stamattina ha iniziato a piovere, quindi sono tornato a casa e ho preso l'ombrello."
Spero si capisca abbastanza, se ti servono chiarimenti chiedi pure!