üzerine olmak
We would use the phrase üzerine (olmak) when two things happen in quick succession.
For example - Hırsız bebeğin ağlaması üzerine, hemen oradan kaçtı. The burglar ran away right away upon baby's cry. When we use "üzerine", we tend to think that the latter happens as a result of first action.
üzere olmak - to be about to - to be on the brink of
A- Neredesin?
B- Eve varmak üzereyim.
-Çorba pişmek üzere.
-Güneş doğmak üzere (i. e we are going to see it rise very soon)
I hope this helps.