Наверное, проще объяснить на примерах.
После:
Это произошло после войны = It happened after a war.
Это произошло после землетрясения = It happened after an earthquake.
После того как:
Это произошло после того, как я понял истину=It happened after I understand the truth.
Это произошло после того, как я переехал в Россию=It happened after I've moved to Russia.
Т.е., отличие в том, что возможно построить разные конструкции.