Szia!
Here is your introduction, with some corrections. Of course, the same thing can be expressed in several ways as long as it conveys the meaning.
A nevem Cat (vagy: Catnek hívnak), 34 éves vagyok. Manilaból jövök (vagy: származom) és most Taguigban élek. Gazdasági elemző és japántanár vagyok. Tagalog nyelven, angolul és japánul beszélek. Franciául és magyarul is tanulok. Szeretek idegen nyelveket tanulni.
Note: you don't always have to use the personal pronoun "én" in every sentence, as verb conjugation substitutes it in most sentences.
As for your questions:
1) Részmunkaidőben japántanár is vagyok. (As this is a bit formal, you can also say the following: Emellett japánt is tanítok. - Besides this I also teach Japanese.)
2) A Fülöp-szigetekről származom. Fülöp-szigeteki vagyok.
3) Az iPhone készülékemről küldve.
I'd choose the form "Taguigban", just as you would.