--> "Tem uma diferença entre os verbos 'melhorar' e 'aprimorar'?".
Sim, tem uma pequena diferença. "Melhorar" é simplesmente tornar melhor, fazer melhoramentos. "Aprimorar" envolve fazer com primor, tornar primoroso.
--> "Eu gostaría saber sobre a diferença em conversa cotidiano no Brasil..."
Essas palavras têm o significado parecido, mas não são a mesma coisa. Então, a diferença não está no fato da situação ser formal ou informal. A diferença está no sentido que você quer passar.
Geralmente, em situações informais, tudo o que você precisa é que algo "melhore". Acredito que isso faz com que "melhorar" seja a mais usada no Brasil (e talvez em todo o mundo lusófono).
Mas a palavra "aprimorar" também é muito usada no dia a dia, principalmente no ambiente de trabalho. Não importa se a conversa é formal ou informal, se você quer deixar claro que algo precisa ser melhorado e você espera um alto nível, você pode sim dizer "aprimorar".