Je laisse [qui] dire ce qu'il veut ?
→ Je le laisse dire ce qu'il veut.
« le » est le complément direct de « laisser ».
Exemple :
- Michel me critique sans arrêt !
- Laisse-le dire ce qu'il veut. Les chiens aboient, la caravane passe.
Je laisse dire [à qui] ce qu'il veut.
→ Je lui laisse dire ce qu'il veut.
« lui » est le complément indirect de « dire ».
La phrase « Je lui laisse dire ce qu'il veut » est incorrecte si elle est supposée dire la même chose que « Je le laisse dire ce qu'il veut ».