It all depends on the context.
If you are talking about food, you can say ''вкус, к которому нужно привыкнуть''. For example:
Blue cheese is an acquired taste -- К голубому сыру нужно привыкнуть / Ко вкусу голубого сыра нужно привыкнуть.
Personally, I can't see any other way to translate this.
Talking about taste in art, you can say ''развившийся вкус (к чему-либо)'' (in the opposite of ''врожденный вкус'' -- inherent taste)