Как прошел мой день.
Я проснулся, и моя мама была больна. (Basically the phrase is correct. But it'll be better to say Я проснулся, а моя мама была больна. or Когда я проснулся, моя мама была больна = When I woked up my mother was ill. )
Я сделал ВСЕ СВОИ ДЕЛА и позавтракал. (We can say съел завтрак, but it is better to say позавтракал) Я поехал в город и КУПИЛ/ВЗЯЛ кофе. (I think you mean you got a coffe? we say to drink coffe= выпить кофе, to buy coffe = купить кофе, to get coffe i can translate as взять кофе which will mean to buy.) Мы поспешили ОБРАТНО В КЛАСС/ПОЙТИ ОБРАТНО В КЛАСС.(we say to go back to class either without a verb - обратно в класс or with the infinitive verb пойти) После учебЫ (the case+ another word - class=класс it is more the place and учеба/уроки it is the process of studing), я пошел домой (Я we write with a lower case letter as я :)