Any of them is right, Spanish is a very flexible language. Note that "bici" is not commonly said in all countries... In Venezuela we call it "bicicleta", and the most common phrase in here would be "(Él) Iba manejando su bicicleta cuando de repente perdió el equilibrio y se cayó." ("Él" is optional).

Primero lo primero, trata de usar "¿Cuál es la frase correcta?" instead of "¿Cuál es la correcta frase?". Puedes usar cualquiera de las tres frases, si quieres sonar como nativo (Español de México) puedes decirlo de la siguiente manera: El iba en su bici cuando de repente perdió el equilibrio y se cayó. El verbo "montar" (montando) es más usado cuando nos referimos a estar arriba de un Caballo.

¿Cuál es la frase correcta? mejor que ¿Cuál es la correcta frase? Todas son correctas. Puedes usar cualquiera, con la que estés más cómodo.

¿Cuál es la frase correcta? Estaba montando en bicicleta (or bici) cuando de repente perdió el equilibrio y se cayó. Iba montando en bicicleta (or bici) cuando de repente perdió el equilibrio y se cayó. Both are ok to say "He was riding his bike when suddenly he lost his balance and fell" I wouldn't use the third one. Note that I have changed "su bici" into "en bici" in Spain we don't normally say that way.We suppose it is his/her own bike". If not, it the bike is of someone else, then we normally specify it.