El español es un poco "tricky" en este aspecto, pero sí... El complemento indirecto siempre puede estar reduplicado con un pronombre. En esta frase (ella les tiene miedo a los gatos) hay dos complementos indirectos, "les" y "a los gatos". Cuando reduplicamos el complemento indirecto, muchas veces la frase suena más natural. En algunos casos es obligatorio reduplicarlo. (Le) dieron un ramo de rosas a mi madre. A ellos les gusta pasear por la montaña. Como ha dicho David, en este caso debería ser "les" (porque "gatos" es plural). No podría explicarte por qué el uso de "le" suena natural en este caso, pero yo he tardado en darme cuenta de que es gramaticalmente incorrecto.

"Ella tiene miedo a los gatos" es correcto. "Le" tiene un carácter enfático. "Ella le tiene miedo a los gatos" es incorrecto, debería ser "Ella les tiene miedo a los gatos" al igual que es "Ella te tiene miedo a ti", "Ella os tiene miedo a vosotros", "Ella me tiene miedo a mí", "Ella les tiene miedo a ellos (a los gatos)".

Porque to be afraid of something es tenerle miedo a algo. Le tengo miedo a los gatos. Ella le tiene miedo a los gatos. Ustedes le tienen miedo a los gatos.

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