あしたいっしょにえいがをみませんか。 Why don't we watch a movie together tomorrow? あしたいっしょにえいがをみましょうか。 Shall we watch a movie together tomorrow?

（日本語バージョン）※saburoさんのために 気付いたことが有りますので、付け加えます。 当初Erikさんが出された例だけを考えていたので先の回答になりましたが、他の例を考えることで考察が深まりました。 うちのパーティーに来<き>ませんか。（招待<しょうたい>invitation）○（correct） Why don't you come to the party at my house? うちのパーティーに来ましょうか。　×（incorrect） お宅<たく>のパーティーに行きませんか。　×（incorrect） お宅のパーティーに行きましょうか。（申し出<もうしで>proposal）○（correct） Shall I come to the party at your house? このことから次のことが言えます。 ※「ませんか」の場合の動作主は聞き手で、「ましょうか」の場合の動作主は話し手 ここで改めて問題の文を考えてみます。 あしたいっしょにえいがをみませんか。＝（あなたは）あした（わたしと）いっしょにえいがをみませんか。Why don't you watch a movie with me together tomorrow? あしたいっしょにえいがをみましょうか。＝（わたしは）あした（あなたと）いっしょにえいがをみましょうか。Shall I watch a movie with you together tomorrow? 私は最初の回答で「あしたいっしょにえいがをみませんか。Why don't we watch a movie together tomorrow?」「あしたいっしょにえいがをみましょうか。Shall we watch a movie together tomorrow?」 としました。これらの訳文のほうが英語としては自然だと思いますが、文法的には本来上のような違いがあると考えられます。動作主が私たち（we）になったら、この違いが見えにくくなってしまいますが、基本的には上のような違いが有ると思います。そしてそれは、私が＜私たちは答えが「はい」か「いいえ」か分からない時「みませんか／みないか」を使います。（私たちは）「はい」という答えを期待する時「みましょうか／みようか」を使います）＞と書いた（感じた）ことにもつながります。

Because I noticed something, I will add it. I had been thinking of only two examples Erik expressed, so I answered like that. But I could think more deeply by thinking of other examples. うちのパーティーに来<き>ませんか。（招待<しょうたい>invitation）○（correct） Why don't you come to the party at my house? うちのパーティーに来ましょうか。　×（incorrect） お宅<たく>のパーティーに行きませんか。　×（incorrect） お宅のパーティーに行きましょうか。（申し出<もうしで>proposal）○（correct） Shall I come to the party at your house? I can say the following by this. ※The agent/actor in the sentence finished by ませんか is the hearer and the agent/actor in the sentence finished by ましょうか is the speaker. Now I consider the sentences in question anew here. I wrote "あしたいっしょにえいがをみませんか。Why don't we watch a movie together tomorrow?" and "あしたいっしょにえいがをみましょうか。Shall we watch a movie together tomorrow?" I think that these translations are natural in English. But I think that there is basically a difference like that in these sentences grammatically. When the agent is わたしたち(we), the difference does not appear clearly. But I think that there is still the difference between them. And It is related with my writing " We use みませんか／みないか when we don't know the answer will be "Yes" or "No". We use みましょうか／みようか when we expect the answer will be "Yes". By the way, Hilary Metcalf　asked me " would you say that the first is like an invitation, but the second is just a suggestion?". And I answered " No. Both of them are 誘<さそ>い・勧誘<かんゆう> (solicitation) and 提案<ていあん>(suggestion・proposal)." because the place we watch a movie is usually a movie theater. If the sentence is "あしたわたしのうちのえいがかんしょうかいにきませんか<Why don't you come to a movie appreciation meeting at my house tomorrow?>", you can say "invitation", but invitation is a kind of solicitation or suggestion.

They have no difference. I's a matter of diction.

ところでHilary Metcalfさんが「would you say that the first is like an invitation, but the second is just a suggestion?」とされ、私は「No. Both of them are 誘<さそ>い・勧誘<かんゆう> (solicitation) and 提案<ていあん>(suggestion・proposal).」と答えました。それは映画を見る場所は普通映画館だからです。もし「あした私のうちの映画鑑賞会<えいがかんしょうかい>に来ませんか」なら招待（invitation）と言うこともできますが、招待も誘いや提案の一種です。