手元の寄り は聞いたことがなく調べてみましたが、言葉としてはないようです。どのような時に聞きましたか?
「手元」:手のまわり、身のまわり、手の届くところ…という感じで使います。
例えば;
1) "手元をよく見なさい"→ 野菜を切っている子どもがよそ見をしている時にお母さんが言います。
2) 友達同士の会話で→
「なんで彼女と別れないんだよ。そんなに好きじゃないんだろう?」
「まぁそうなんだけど。」と曖昧な返事をして、
「(彼女を)手元においておきたいだけなんだろ?」と言う場面があります。
手元に置く=「所持する」という意味も持っています。
「手近」:こちらは”手元”よりももっと離れた「近く」を意味します。
例えば;
1) ランチタイムの会話で→
「昼メシどうする?」
「(会議があって時間がないから)手近なところで済まそう」
2) 友達同士の会話で→「お前、クラスの子と付き合ってるんだって?」「まぁな!」「ずいぶん手近なところで済ませたな」。
このように「近くで」もしくは「簡単に」という意味を持っています。