ご質問にある情報だけだと正確に翻訳するのは難しいので、大意だけ推測も交えて書いてみます。
I suppose the three words below implies the meaning as following:
A. その家: influence or fame of the family (?of the restaurant’s owner?),
or their high social standing
B. その看板: reputation or honor of (the restaurant, or 料亭? 料理屋?)
(看板 means not only a signboard but also reputation or attraction of
a shop/restaurant in some context.)
C. その帳場: management ability (of the manager of the restaurant (〃))
全文の大意は下記のようになるのではないかと思います。
(?Running a restaurant?) is not a work or business that can be easily controlled/governed by any of A, B, or C.
お役にたてばよいのですが。追加情報があれば、また検討してみます。