"Einstellen" bedeutet neue Mitarbeiter in ein wie immer geartetes Arbeitsverhältnis zu nehmen, wobei nichts über die Art des Beschäftigungsverhältnisses gesagt ist. Das Gegenteil ist "entlassen".
Der Ausdruck "Festeinstellung" ist nicht üblich, allerdings könnte eine Frage lauten: "möchten Sie mich fest einstellen?" (=nicht nur befristet).
"Startups stellen gerne Berufseinsteiger ein" bedeutet, dass bei einem Startup auch Bewerber ohne Berufserfahrung eine Chance haben, genommen zu werden.
"Angesellter" bezeichnet die (arbeitsrechtliche) Form des Beschäftigungsverhältnisses, z.B. im Unterschied zum Beamten und, was früher eine große Rolle gespielt hat, zum Arbeiter. Auch heute noch gibt es z.B. Arbeitsverträge, bei denen Überstunden mit dem Monatsgehalt abgegolten sind und solche, bei denen sie - meist mit Überstundenzuschlag - abgerechnet werden. "Festanstellung" bedeutet unbefristet im Gegensatz zu befristeten Arbeitsverträgen, Schwangerschaftsvertretungen, Werkverträgen usw. Allerdings kann der Arbeitgeber auch bei einer Festanstellung in der Probezeit von bis zu 6 Monaten ohne Angabe von Gründen kündigen.
"Möchten sie mich in Teilzeit einstellen" kann man sagen, oder auch "...anstellen". Aber nur "Teilzeitanstellung" bzw. "Teilzeitvertrag".