Your understanding is correct.
飼っている is used for the pet(s) / animal(s) including fish and every living things you live with and feed to, for example:
私は犬を飼っています。彼女は小鳥を飼っています。彼はきんぎょを飼っています。
Depends on the context, you can also say:
私(の家)には犬がいます。彼女(の家)には小鳥がいます。彼(の家)にはきんぎょがいます。
持っている is used literally "to have in your hand" and "to own" for the non-living things, for example:
父は青い車を持っています。母はたくさんの本を持っています。姉は手に雑誌[ざっし]を持っています。
Depends on the context, for "to own", you can also say:
父には青い車があります。母にはたくさんの本があります。
I would use 家には(plant)が植えてあります or 育てています for plants, for example:
私はバラを育てています or 私の家にはバラが植えてあります。
彼女はレモンを育てています or 彼女の家にはレモンの木があります / 植えてあります。
I hope this was helpful.