こんにちは。「~している」と「~してる」には、意味の違いはありません。
「お昼ご飯を食べてる」=「お昼ご飯を食べている」
「本を読んでる」=「本を読んでいる」
「雨が降ってる」=「雨が降っている」
ただし、正しい日本語は「~している」の方です。
「~してる」という言葉は、「い抜き言葉」と呼ばれています。
話す時や、友達とメッセ―ジのやりとりをするときにこれらを使っても全く問題ありません。
わたしたちネイティブも、むしろ「~してる」のほうが日常で頻繁に使っていると思います。
しかし、丁寧な手紙やメッセージを送るとき、またはテストのときにはきちんと「~している」と書いた方がいいと思います。
日本語学習がんばってください!