La frase correcta sería: "Quemando el aceite de medianoche, como dicen"
- No se usaría ningún artículo determinado en este caso.
-"como dicen" no se refiere al aceite, ya que son dos frases distintas.
-"como dicen" se correspondería con la expresión impersonal en inglés "as they say" o "as it is said")
Nota: "Quemar el aceite de medianoche" es una traducción literal de la expresión del inglés "To burn the midnight oil" que significa estudiar o trabajar hasta altas horas de la noche, pero es una expresión que no se usa en español.
Espero haberte ayudado.