Las tres palabras van en la acepción, de transformar. “Volverse” es mudar una cosa en otra, convertirse. “Ponerse” es adquirir cierta condición o estado (poner algo a lo que ya es y sigue siendo). Es decir, la primera habla más de su esencia y la segunda de una cualidad. Por ejemplo, yo digo que “al calentar el compuesto se vuelve gaseoso” (diferente cosa en función del estado) o que “al calentar el compuesto se pone en estado gaseoso” (estado como cualidad del compuesto).
“Hacerse”, va más a la idea de volverse, pero también a la de constituir, crear, es decir, convertirse en algo pero no necesariamente desde otra cosa sino desde cero o casi (la semilla se hizo árbol), pero además, “hacerse”, que tiene muchas acepciones (como la de habituarse, tomar el control), da idea de convertirse de una forma más predecible, paulatina, de acuerdo a su propia naturaleza o incluso voluntad (hacerse ingeniero/volverse loco)