"Weil" ist eine Begründung, z.B.: Ich bin müde, weil ich viel gearbeitet habe. 

"Damit" braucht man, um einen Grund oder ein Ergebnis von etwas zu erzählen, z.B.: Ich spare Geld, damit ich in Urlaub fahren kann. 

Wie Lucy Liu schon sagte, "weil" benutzt man für einen Kausalsatz, also um den Grund anzugeben. Die Konjunktion "damit" benutzt man für einen Finalsatz, das heißt, um den Zweck oder das Ziel anzugeben. Manchmal kann das Ziel auch der Grund für etwas sein, dann kann man auf die Frage "Warum?" mit einem damit-Satz anworten.

Beispiel:

Warum trägst du eine Brille? - a) Damit ich besser sehen kann (final).  b) Weil ich kurzsichtig bin (kausal).

'Weil' steht in kausalen Sätzen in dem ein Grund für etwas gennnt wird, und 'damit' steht in Instrumentalsätzen, und in diesen Sätzen wird eine Mittel für eine Handlung genannt. Ich glaube, dass das das größte Unterschied ist. Aber manchmal kannst du auf eine Antwort sowohl mit weil, als auch mit damit antworten, also manchmal ist es ganz egal.