Haha, det är roligt när man får frågor som man aldrig har reflekterat över själv!
"Att dela med sig (av något)" alltså "jag delar med mig", "du delar med dig", "vi delar med oss" t.ex, betyder att dela det som man har med någon annan.
Exempel:
1. Kalle hade så många päron att han kunde dela med sig av dem till alla sina vänner.
2. Nu måste du dela med dig! (det här exemplet kan också betyda att den man pratar med har något spännande att säga som man gärna vill höra)
"Att dela något med någon" (eller "att dela på något") är samma som engelskans "to share something with someone".
Exempel:
1. Jag delade kakan med Fatima.
2. Jag och Fatima delade på kakan.
Sammanfattningsvis kan man säga att man använder "dela med sig av något" när det är tydligt att det är JAG som är snäll och ger bort en del av någonting som är mitt. Betoningen läggs också olika på de olika uttrycken:
Att dela MEEED sig av något
Att DEEELA något med någon. Att DEEELA på något.
Så som svar på dig fråga:
1. "Jag delade MED mig av min banan." = Jag hade en banan och var snäll nog att ge bort en del av den.
2. "Jag DELADE en banan med min kompis"/"Jag och min kompis DELADE på en banan". = Det spelar ingen roll vems bananen var.
Hoppas det blev lite klarare!