수수께끼 - Trick
폭력배가 많은 나라는? 칠레.
올림픽 경기에서 권투를 잘하는 나라는? 칠레

I wonder whether 칠레, seems to be pronounced as 치다 (beat): 칠래요.

가장 알찬 사업은? 알(계란)장사

I can not understand the answer

Question

수수께끼 - Trick
폭력배가 많은 나라는? 칠레.
올림픽 경기에서 권투를 잘하는 나라는? 칠레

I wonder whether 칠레, seems to be pronounced as 치다 (beat): 칠래요.

가장 알찬 사업은? 알(계란)장사

I can not understand the answer

Answer

칠레 is almost similar to 칠래 in pronunciation.
치다 means "hit"
칠래 means "I will hit you"

알차다 means "fruitful, profitable"

알 means "egg" 
차다 means "full of"
So, 알차다 can be mean "full of eggs"

알(계란)장사 means "merchant of egg"

The business which is full of eggs is the merchant of egg.