In generale non sono la stessa cosa. In italiano standard si usa "stare" nel senso di "essere intenzionato a fare qualcosa e non altro". "Essere a", invece, indica semplicemente che si è occupati in quella attività. Quindi "sto a dormire" vuol dire "resto nel letto e non ho intenzione di alzarmi". "Sono a dormire" significa che sei addormentato o almeno sei ancora nel letto. "Sto a guardare" vuol dire "resto fermo a guardare qualcosa senza partecipare all'azione". "Sono a guardare (un film)", vuol dire che la tua attività corrente è quella di guardare un film. "Sto a studiare" vuol dire che hai intenzione di restare a casa a studiare e rifiuti di fare altro. "Sono a studiare", vuol dire que che sei seduto alla scrivania con i libri davanti. In certi dialetti e varietà locali di italiano (ad esempio a Roma), "stare a" viene usato molto più spesso con il significato di "stare facendo" o anche "essere a". Siccome alcuni di questi dialetti sono piuttosto comuni anche nei film, può darsi che tu abbia sentito questo uso di "stare a", ma ti sconsiglio di usarlo perché non è standard.

"Stare" ha in generale un significato progressivo, tipo il progressive inglese. Esempio: "Hai pulito camera?" "Lo sto facendo" = "adesso sto pulendo e pulirò nell'immediato futuro". Anche come sinonimo di "essere" può derivare da questa valenza. "Sto dormendo" -> "Sto a letto" = "Sono a letto". Molti usi atipici delle parole derivano da una tendenza evolutiva delle lingue in generale.