Obie formy: dwadzieścia dwaj mężczyźni oraz dwudziestu dwóch mężczyzn są poprawne. Bardziej poprawna jest forma pierwsza, ale ze względu, że drugi wariant jest zbliżony do pozostałych form, jest przez to częściej wybierany. Podobnie jest ze slowem dwu - poprawne, ale coraz rzadziej uzywane. 

Dwójka dzieci natomiast to forma określająca raczej formację niż ilość elementów np. dwójka koni w zaprzęgu, szóstka graczy w drużynie itp. w przykładzie, jaki podałeś, używana raczej jedynie w języku potocznym.

Formą poprawną gramatycznie i stylistycznie jest matka z dwojgiem dzieci.