Szia!

Szia! Én Zack vagyok. Én amerikai vagyok, és magyarul tanulok (we don't use the same predicat twice in a sentence). Augusztusban Magyarországra megyek. Izgatott vagyok! or Izgulok! (here I guees you wanted to say that you're excited about travelling to Hungary)

Köszönöm,
Zack

Szia!

Szia! Én Zack vagyok. Én és amerikai. vagyok, és én Magyarul tanulok. Augusztusban Magyarországra megyek. Izgulokatottok!

Köszönöm,
Zack

Szia!

Szia!. Én Zack vagyok. Én Amerikai vagyok, és én magyarul tanulok. Augusztusban Magyarországba megyek. Izgatott vagyok!

Köszönöm,
Zack

Szia!

Szia! *Zack vagyok. (Zacknek hívnak.) Amerikai vagyok, és én Magyar tanulok magyarul tanulok. Augusztusban Magyarországra megyek. Izgatottok vagyok! (= I'm excited.)

Köszönöm,
Zack

*You don't need to put the personal pronoun "én" in every sentence. The verb conjugation clarifies who you're talking about.