Utilizamos as duas formas, sendo que ''realizar uma prova'' é a maneira mais formal. (Portuguese from Brazil)

Apesar de serem muito parecidas em seu significado, esses dois verbos possuem diferença.Para realizar algo , é preciso, antes de tudo, fazer. Buscar os meios para tornar algo real. Por isso usamos a palavra fazer a prova, isso não implica se o seu objetivo de ir fazê-la vai realizar ou não os seus desejos, seja passar de ano ou passar em um concurso. Usamos realizar mais para algo que se concretizou ou vai se concretizar. Se você conseguiu atingir seus objetivos depois de ter feito a prova, você pode usar a palavra eu realizei a prova.

De certa forma as duas formas poderiam ser utilizadas, porém acredito que "fazer uma prova" soa mais natural e comum. Não ousaria dizer que uma é mais formal que outra.

Ambas as frases estão corretas, porém podemos classificá-las (de uma forma geral) em: Realizar uma prova = formal. Fazer uma prova = informal.

No Brasil, utilizamos os dois. Quando você diz "fazer uma prova" é um pouco mais informal.