Hi Adam.
Meaning of 許さない changes according to context, but basic meaning is "to do not forgive" "to do not permit", "to do not allow".
I will never forgive what you have done for me. あなたのしたことを私は絶対許さない
I will not permit you to go out 外出(がいしゅつ)することを許さない
The situation allows of no delay 事態(じたい)は一刻(いっこく)の猶予(ゆうよ)も許さない