Hola Esteban. No sé si será lo mismo, pero al menos en España usamos la expresión "tener / poner ojos de cordero degollado" cuando una persona pone cara o mira de una manera que intenta inspirar pena o lástima. Por ejemplo, podríamos decir: "Ahora pone ojos de cordero degollado pero en realidad es un malhechor". Quizá la expresión puede tener otras variantes en otros países de habla hispana y tal vez en México se use "poner cara de borrego" con el mismo sentido, pero no lo puedo decir con certeza. Sin duda, algún compañero mexicano podrá ayudarte mejor que yo. Un saludo, David.

En México normalmente usamos esta expresión "con cara de borrego a medio morir" Cuando tiene cara de cansancio, o esta pidiendo suplica con la mirada.