Olá Masoud! Trata-se de um estilo de linguagem literária e poética. Nesse contexto o trecho "Dava-me mesmo jeito" seria o mesmo que "Me daria a mesma atenção". Significa que se ele não tivesse escrito a carta da forma como escreveu, a pessoa que fosse ler, não daria importância.

Olá Masoud, primeiramente, você está usando tempos verbais bastante comuns ao Português de Portugal. Esta conjugação "Dava-me mesmo jeito", não é usual no Brasil e para falar a verdade, nem mesmo sei se alguém entenderia isso. Soaria estranho ao menos. Mas vamos lá: da forma como está, a expressão não faz sentido. Se você puder colocar esta frase num contexto mais amplo, num texto mais completo, talvez pudesse lhe ajudar. Abraço

"Algo dá jeito a alguém" quando essa coisa é conveniente e prática para essa pessoa.

Isto dá-me jeito. => Dá-me jeito isto. => Dá-me jeito que tu tenhas tempo para me fazeres três favores.

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O imperfeito ou condicional usa-se para mostrar respeito ou deferência tendo de se colocar todo o resto da frase no passado.

Dava-me jeito que tivesses tempo para me fazeres três favores.

I could not find "atenção" on the dictionary for "jeito".

Também podia ter escrito: «Chamam-me Cabeça d'ovo, pareço ter sete anos, vivo no hospital por causa do meu cancro e nunca te dirigi a palavra porque nem sequer acredito que tu existes.»Mas não fica bem eu escrever isso, e depois tu podes não me ligar importância. Ora preciso que tu me ligues importância.Dava-me mesmo jeito que tivesses tempo para me fazeres dois ou três favores.Passo a explicar.