この文章は、主語にあたる部分が省略されています。

私はこの文章を理解するために、

　・この文章に対する、Normaさんの説明

　・メールの中に書いてあったこと

の二つを区別することが必要になると思います。

メモ中の文章を3つに分けた時に、

　1.　お客様からメールが来ました。

　2.　解答を待って、弊社から連絡をすぐ入れますので、よろしくお願いします。

　3.　ってお客様は言いました。

1と3は、この文章に対する、Normaさんの説明でしょうか？

その場合は、mayさんがおっしゃっているように、「連絡相手」は「Normaさん」になります。

　（お客様）から（私へ）メールが来ました。

　（お客様は）（第三者からの）解答を待って、　（第三者からの）解答が届いたら、

　（お客様から）（私へ）連絡をすぐ入れますので、よろしくお願いします。

　私=Normaさん　お客様=弊社　第三者=someone

このように、日本語では会話を簡単にするために、しばしば主語が省略されていますが、今回のように短い文章の中で主語を省略してしまうと、意味が伝わりにくくなります。

また、「連絡を入れる」と「連絡をする」は同じ意味ですが、「お客様」が「私」に対してビジネスの文章を書く時は、失礼のないように敬語を用いることが一般的です。

敬語を用いると、「連絡を入れる」と「連絡をする」は「ご連絡を差し上げる」になります。

　ex.　解答を待って、弊社からご連絡を差し上げますので、よろしくお願いします。