「間もない」は「すぐ」「少しして」という意味です。 「入学してすぐのあのころ」「入学して少したった時 / 少しして」と同じような意味になります。 「まもなく」の「間(ま)」と同じです。

"間もない"　is "there is even no 間(=time)," so it means "after brabrabra, there is even no time, and happen the next activity." Then, we say "間　も　ない." So ”中学校へ入学して間もないあのころ”＝"中学校へ入学して、すぐのころ"