В разговорной речи употребляются все три варианта, и частотность их употребления примерно одинаковая, я думаю. В данном случае можете выбрать любой вариант. Всё же смыловой оттенок, мне кажется, есть. Я думаю, что "дождь прошёл" говорят чаще о дожде летнем, быстром, о ливне. Когда грозовая туча с дождём прилетела и прошла. "Дождь перестал (идти)." уместнее сказать о долгом осеннем дожде, когда всё небо было затянуто тучами, и наконец дождь перестал. Но любой вариант не будет ошибкой.

Мой город Санкт-Петербург - город дождей :) Все три варианта допустимы. Но для вашей ситуации IMHO лучше подходят первые два варианта: "дождь перестал (идти)" и "дождь (за)кончился". Я вижу в них простую констатацию факта, акцент на завершении дождя, когда видели дождь и ждали когда он закончится. А сочетание "дождь прошел" лучше подходит, если я вижу мокрые деревья, дорогу, лужи. Тогда я могу сказать: "только что прошёл дождь".

Все три варианта имеют практически одинаковое значение. 1. Дождь шел. Дождь перестал (идти). 2. Дождь шел. Дождь прошел (только что, недавно прошел дождь). 3. Дождь шел. Дождь кончился (закончился). Третий вариант звучит немного некрасиво, ведь может кончиться вода в ведре, но из неба она закончиться не может. Поэтому лучше сказать: 3. Дождь прекратился.

Можно употреблять любое выражение))) Они равноценны и одинаковы по значению. Я лично употребляла все три (в разное время).

"Дождь перестал" и "дождь кончился" - шел и вдруг закончился. А "дождь прошел" - это можно и как в первом варианте, а еще: я вышла из дома, смотрю - земля, асфальт мокрые, с листьев деревьев капают капли и пахнет дождем, но дождь уже не идет и я говорю "О, дождь прошел"; то есть как о процессе в прошлом.