What does «на роду написано» mean?
It think it means "at birth it was written", is that right? Is this an idiom? Can you give some further examples of how род is used in this way?

Question

Answer

Yes, it's an idiom. It means "to be fated to do smth".

For example,

Ему на роду было написано стать знаменитым.- He was fated to be famous.

Answer

"Ему/ей/ на роду написано" значит, что это его судьба, это предопределено заранее. Больше об употреблении слова можно посмотреть здесь: http://search-beta.ruscorpora.ru/search.xml?env=alpha&mycorp=&mysent=&mysize=&mysentsize=&mydocsize=&dpp=&spp=&spd=&text=lexform&mode=main&sort=gr_tagging&lang=ru&nodia=1&req=%ED%E0+%F0%EE%E4%F3+%ED%E0%EF%E8%F1%E0%ED%EE ("Национальный корпус русского языка" - очень удобный ресурс). Слово "род" - компонент известного слова "родитель". Оно используется в таких, например, предложениях, как: а) Он ведёт свой род от дворянской семьи. б) Он происходит из старинного рода. в) - Кем стал их внук? - Как и все, музыкантом. - Да, у них в роду четыре пианиста и дирижёр... 
______________________________________________________________
"Ему/ей/ на роду написано" means that it was his destiny, it was predetermined. More about this phrase see here: http://search-beta.ruscorpora.ru/search.xml?env=alpha&mycorp=&mysent=&mysize=&mysentsize=&mydocsize=&dpp=&spp=&spd=&text=lexform&mode=main&sort=gr_tagging&lang=ru&nodia=1&req=%ED%E0+%F0%EE%E4%F3+%ED%E0%EF%E8%F1%E0%ED%EE ("Национальный корпус русского языка" is an extremely handy resource). The word "род" is a component of a famous word "parent"/"родитель". It is used in such contexts as: а) Он ведёт свой род от дворянской семьи. б) Он происходит из старинного рода. в) - Кем стал их внук? - Как и все, музыкантом. - Да, у них в роду четыре пианиста и дирижёр...

Answer

Тебе на роду написано стать врачом. Им на роду написано стать самыми богатыми людьми. Вы долгожители, это у вас на роду написано.

Answer

the similar expression  to -на роду написано- is oт судьбы не уйдешь- but the last is used mostly in negative cases. 
About good luck  to avoid  something that is dangerous there is special expression that is used just in those cases - Родился в рубашке-, как (будто) в рубашке родился. Он попал в серьёзную аварию и не царапины на нём. Как в рубашке родился .  he has got in terrible auto crash , but there is no scratch on    him , it kooks like he was born in a shirt .this expression can refers to women too

집에서 편안하게 언어를 배울 수 있는 기회를 놓치지 마세요. 경험 많은 강사진을 살펴보고 지금 바로 첫 수업을 신청하세요!