Une "partie" est juste un sous-ensemble d'un ensemble plus grand ou encore partie = division/morceau. Dans "part", il y a l'idée de distribuer les parties (comme une part de gâteau). En effet, "du" serait utilisé pour désigner un gâteau en particulier, par exemple : "Je veux une part du gâteau au chocolat" ou "Je veux une part du gâteau que tu as fait". Il me paraît nécessaire de préciser dans la phrase de quel gâteau il s'agit, comme s'il y avait un choix à faire. S'il n'y a qu'un seul gâteau, on dirait "Tu veux une part ?". Si on a le choix entre un gâteau et autre chose, je dirais "Je veux une part de gâteau". Si on répond à une question, on dirait juste : "Est-ce que tu en veux ?"/"Tu veux du gâteau ?" => "Oui, s'il te/vous plaît". Comme l'a fait remarquer Mischa, dans un autre contexte, "une part du gâteau" signifie une part du butin (lors d'un cambriolage, ou juste si un groupe gagne de l'argent). Voici des exemple de phrases : "Je veux une/ma part du gâteau", "Toucher une part du gâteau".

Je ne savais pas non plus, ma mère me l'a dit. "une part du gâteau" veut par exemple dire quand tu touches de l'argent, genre tu hérites, ou tu est partie prenante (= stakeholder)