There is no simple and clear rule one can follow to choose between these phrases, but here's a general guideline. * ~기: suitable for set expressions, well established practices, and commonly occurring situations. * -는 것: used more widely in broader contexts, including rarely encountered specific cases. *-ㅁ, -음: for formal and literary contexts, and to make ending forms of special compressed sentences. * -기 examples: - ~기 좋다: nice/convenient for something. 살기 좋은 동네. - ~기 싫다: I dislike -ing; I don't like to .... 공부하기(가) 싫다. - ~기 쉽다/어렵다: It's easy/hard to ...; 이 책은 읽기(가) 쉽다/어렵다. - -기 전에, -기에 앞서(서): before doing something. 더 아프기 전에 병원에 가 봐. 회의 시작하기(에) 앞서 ... - 그는 죽기 살기로 일을 했다: He worked like it was a matter of life and death. - 세상일은 마음 먹기(에) 달렸다: Everything in this world depends on the attitude with which you approach them. - 사람 좋기로 말하면 그 만한 사람이 없다: When it comes to nice personality, no one comes close to him. * -는 것 examples: - 빨리 하는 것만이 제일이 아니다: Doing things faster isn't necessarily the best way. - 마음 아프고 슬픈 것은 어서 잊어버려: Forget about what pains and saddens you as soon as possible. - 올라가는 것은 내려오게 되어 있다: What goes up will surely come down. * -ㅁ/음 examples: - 이렇게 와 주심에 감사드립니다 (formal) = 이렇게 와 주셔서 감사합니다 (less formal). 와 주시다 -> 와 주심 + 에. - 나는 그의 박식함에 깊은 인상을 받았다: I was deeply impressed by his erudition. 그는 박식하다 -> 그의 박식함 + 에. - 온유함은 '겸손'에 바탕을 두고 있는 것입니다: Caring tenderness has its roots in humility. 온유하다 -> 온유함 + 은. - 8시, 출근. 10시, 과 회의에 참석함. 12시, 식사하러 나감. 2시, 과장에게 시장 동향 보고함. (noun-like phrases - used for short notes or on Internet comments)

when using ~는 것, you have to add '을' after it. so 배우는 것을 시작했다. is correct. meaning is the same I think. 배우기 시작했다 = 배우는 것을 시작했다. and I've hardly, almost never heard nobody saying ~음을 시작했다. 노래부름을 시작했다. It's so awkward. I'd better say 노래부르기 시작했다. 춤춤을 시작했다. Its also awkward. 춤추기 시작했다 is natural. I hope other people good at Korean better than me to explain it in more detailed way you may wonder if it's ok to use ~는 것. Of course it's no problem. but you know language.. Being grammatically correct doesn't mean that's natural. so I recommand you to say ~기를 시작했다. then you'll sound very natural.