"Estar hasta el cuello" significa que alguien está muy apurado, por ejemplo, porque tiene muchas deudas, trabajo u otras obligaciones. Aquí tienes algunos ejemplos: https://www.linguee.com.ar/espanol-ingles/traduccion/estoy+hasta+el+cuello.html "Estar metido hasta el cuello" quiere decir que alguien se encuentra profundamente envuelto o atrapado en una empresa o situación incómoda: https://en.oxforddictionaries.com/definition/up_to_one%27s_armpits

En mi opinion no, "estaban metidos hasta cuello en la misma organizacion" me da la idea de que [ellos] se comprometieron con la organizacion tanto que ahora ya no pueden echarse para atras y renunciar. Por otro lado, "...estaban hasta el cuello en la misma organización." me parece que no esta bien estructurado. Podria ser ""...estaban hasta el cuello [con] la misma organización." da la idea de que estaban hartos de la organizacion, ya no aguantan mas estar alli. Basicamante la expresion "estar hasta el cuello..." necesita de algun elemento para indicar de que estaba hasta el cuello. Por ejemplo: Estoy hasta el cuello de deudas, estoy hasta el cuello de trabajo.

La verdad resultan diferentes según el contexto. Estar "metidos hasta el cuello" significa casi siempre que ellos están muy implicados en algún suceso, por ejemplo, los descubrieron robando y tienen pruebas en contra de ellos. Un ejemplo de "Estar hasta el cuello" es cuando uno tiene mucho trabajo, entonces se dice: estoy hasta el cuello de labores.

Es correcto

Estar hasta el cuello significa estar casi ahogándose por algo, en sentido figurado. Todo depende de como lo quieras usar. "estoy hasta el cuello de deudas", tengo tantas deudas. También lo podemos decir de esta manera: Estar con el agua al cuello. Estar una persona presionada por gran cantidad de problemas: Desde que perdió el trabajo está con el agua al cuello. Saludos....