Yes it is correct - at least as long as you start "Institute", "Kinder" and "Erwachsene" with capital letters. And yes, in this case you have to use "für" twice" in the sentence.

sowohl und nicht nur haben Position drei ; Also es gibt sowohl Institute für Kinder als auch für ..

Es gibt Institute sowohl für Kinder als auch (für) Erwachsene. Die Praeposition kannst du beiden Objekten beistellen, musst aber nicht.

Ich bin gerade ein wenig im Zweifel, ob es nicht einen Bedeutungsunterschied zwischen beiden Formulierungen gibt: 1) Es gibt sowohl Institute für Kinder als auch (für) Erwachsene. 2) Es gibt Institute sowohl für Kinder als auch (für) Erwachsene. Mögliche Deutungen, die ich sehe: 1) Es gibt zwei Arten von Instituten - einerseits nur für Kinder, andererseits nur für Erwachsene. 2) Es gibt verschiedene Institute, die alle gleichermaßen für Kinder wie Erwachsene eingerichtet wurden und von beiden Zielgruppen genutzt werden können/sollen. Wie seht ihr (Muttersprachler) das? Nehme ich das jetzt übergenau oder müsste man es tatsächlich so deuten? Oder würdet ihr das tatsächlich immer entsprechend deutlich machen, durch Wendungen wie "einerseits ... andererseits" bzw. "gleichermaßen", um das etwas zweideutige "sowohl... als auch" zu umschiffen?