Es gibt kleine Unterschiede, diese beiden Woerter werden aber oft als Synonyme verwendet.
begreifen
Verständnis für jemanden oder etwas haben; jemanden, sich in seinem Denken, Fühlen und Handeln verstehen.
Bespiele: Ich kann meinen Freund gut begreifen.
Ich begreife nicht, wie man so etwas tun kann.
Für etwas halten, als etwas betrachten; eine bestimmte Vorstellung (von jemandem, etwas) haben.
Beispiel: Das ganze griechische Kulturgebiet als Einheit begreifen.
Verstehen
deutlich hören
Der Redner war auch hinten gut zu verstehen.
Dann gibt es noch bestimmte Wendungen:
Jemandem etwas zu verstehen geben (jemandem gegenüber etwas aus bestimmten Gründen nicht direkt sagen, sondern nur andeuten: ich habe ihr deutlich zu verstehen gegeben, dass ich dies ablehne).
Sich [von selbst] verstehen (keiner ausdrücklichen Erwähnung bedürfen; selbstverständlich sein: dass ich dir helfe, versteht sich von selbst)