Нет, ничего грубого и резкого нет, обычное разговорное выражение, довольно нейтральное. Означает "созвонимся", "спишемся", "будем держать друг друга в курсе", "не будем терять друг друга" и т. п. "До связи" я бы даже сказал, что имеет противоположное значение. Звучит, скорее, как прощание: "пока", "до свидания". А "на связи" - это, наоборот, пожелание постоянно быть в контакте.

Я бы так охарактеризовал: на связи = to be in touch; до связи = see you later. Так что нет, эти выражения не равнозначны. Согласен с Дмитртем: это обычные разговорные выражения, допустимые как в разговоре с друзьями / родными, так и в деловых неофициальных контактах примерно равных по положению людей.

Звучит нейтрально. Означает : "будь\будем доступен \доступны для коммуникаций посредством средств связи, например, телефона". Фраза "до связи" имеет иной смысл.