Оба варианта допустимы, но более естественно звучит "она забыла свой зонт". "Она забыла её зонт" будет понято, но мы так обычно не скажем. Также допустимо просто "Она забыла зонт", если не указываем чей, то подразумевается "свой" Both variants are possible, but "она забыла свой зонт" is more natural. "Она забыла её зонт" is not mistake, but usually we don't speak that. Also possible just "Она забыла зонт", we imply "свой"

Это был ее зонт; но: она забыла, взяла, оставила, сломала, подарила - все что угодно - свой зонт. Только так.

Она забыла свой зонт

Она забыла СВОЙ зонт.

Хоть это грамматически не очень правильно, некоторые люди так говорят.