1) 집을 청소합시다. (Let's clean the house.) - Fine. You can also say: 집 청소 (좀) 합시다/해요.
2) 나의 구두 좋아해? (Do you like my shoes?) - More natural way: 내 구두 맘에 들어?
In speech, 나의 is almost never used. We always use the short form 내.
3) 라면 먹읍시다. (Let's eat ramen.) - Fine.
4) 나는 어제 책을 사요. (I bought a book yesterday.) - Wrong. Should be: 나는/저는 어제 책을 샀어요.